Закон распределение случайной величины примеры

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретная случайная величина — это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1. Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

Содержание:

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin<|c|c|>
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$

Пример 2. Пусть случайная величина $X$ — число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin<|c|c|>
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

Замечание. Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum=1$.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

  • $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
  • Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
  • Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
  • Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
  • Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
  • Пример 3. Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

    Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

    Пример 4. Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

    Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

    Пример 5. Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

    Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

    3. Дисперсия дискретной случайной величины.

    Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе — только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

    Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

    В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_—<\left(M\left(X\right)\right)>^2$.

    Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

    1. Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
    2. Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
    3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
    4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
    5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

    Пример 6. Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

    Пример 7. Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

    Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

    Пример 8. Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

    Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

    4. Функция распределения дискретной случайной величины.

    Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины — функция распределения.

    Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

    График функции распределения $F\left(x\right)$:

    Законы распределения на этой странице

    Пусть дискретная случайная величина $X$ — количество «успехов» в последовательности из $n$ независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна $p$ («неуспеха» — $q=1-p$).

    Числовые характеристики биномиального распределения:

    При условии $p\to 0$, $n \to \infty$, $np \to \lambda = const$ закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность $p$ события $A$ в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

    Ряд распределения геометрического закона:

    Из урны, в которой находятся $N$ шаров ($K$ белых и $N-K$ чёрных шаров), наудачу и без возвращения вынимают $n$ шаров ($n \le N$). Найти закон распределения случайной величины $X$ — равной числу белых шаров среди выбранных.

    Показательное распределение НСВ

    Плотность распределения при различных значениях $\lambda \gt 0$:

    Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению.

    $$ f(x)= \left\< \begin 0,\ x \le a\\ \frac <1>,\ a \lt x \le b, \\ 0,\ x \gt b, \\ \end \right. $$

    Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины:

    Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

    При $a=0$ и $\sigma=1$ эта функция принимает вид:

    Числовые характеристики для нормального распределения:

    Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами $a=0$ и $\sigma=1$ называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая — стандартной или нормированной.

    $$ P(\alpha \lt X \lt \beta) = \Phi\left( \frac<\beta-a> <\sigma>\right) — \Phi\left( \frac<\alpha-a> <\sigma>\right). $$

    Решенные задачи по теории вероятностей

    Формулы: законы распределения случайных величин

    Каталог формул по теории вероятности онлайн

    Биномиальное распределение ДСВ

    Примеры многоугольников распределения для $n=5$ и различных вероятностей:

    Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

    Ряд распределения по закону Пуассона имеет вид:

    Вероятности вычисляются по формуле Пуассона:

    Числовые характеристики для распределения Пуассона:

    Пусть происходит серия независимых испытаний, в каждом из которых событие может появится с одной и той же вероятностью $p$. Тогда случайная величина $X$ — количество испытаний до первого появления события, имеет геометрическое распределение вероятностей.

    $$ P(X=k) = q^k \cdot p, k=0,1,2. n. $$

    Гипергеометрическое распределение ДСВ

    $$M(X)=\frac\cdot n, \quad D(X)=\frac\cdot n \cdot \frac \cdot \frac.$$

    Непрерывные случайные величины

    Плотность распределения величины $X$(везде $ \lambda \gt 0)$:

    Числовые характеристики можно найти по формулам:

    График плотности вероятностей:

    Нормальное распределение или распределение Гаусса НСВ

    Плотность распределения нормальной случайной величины $X$ имеет вид:

    Пример графика плотности распределения для различных значений среднего и СКО:

    Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины $X$ в заданный интервал $(\alpha, \beta)$:

    Ищете готовые задачи по теории вероятностей? Посмотрите в решебнике:

    Закон распределения случайной величины

    Закон распределения случайной величины X :

    Пример №2 . Вероятность попадания в мишень одного стрелка при одном выстреле для первого стрелка равна 0.8, для второго стрелка – 0.85. Стрелки произвели по одному выстрелу в мишень. Считая попадание в цель для отдельных стрелков событиями независимыми, найти вероятность события А – ровно одно попадание в цель.
    Решение.
    Рассмотрим событие A — одно попадание в цель. Возможные варианты наступления этого события следующие:

    1. Попал первый стрелок, второй стрелок промахнулся: P(A/H1)=p1*(1-p2)=0.8*(1-0.85)=0.12
    2. Первый стрелок промахнулся, второй стрелок попал в мишень: P(A/H2)=(1-p1)*p2=(1-0.8)*0.85=0.17
    3. Первый и второй стрелки независимо друг от друга попали в мишень: P(A/H1H2)=p1*p2=0.8*0.85=0.68
    4. Тогда вероятность события А – ровно одно попадание в цель, будет равна: P(A) = 0.12+0.17+0.68 = 0.97

      Дискретная случайная величина и функция её распределения

      Определение дискретной случайной величины и ряд её распределения

      Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и в свою очередь, случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно.

      Кроме дискретных случайных величин существуют также непрерывные случайные величины.

      Рассмотрим более подробно понятие случайной величины. На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении. Например, число мальчиков, которые родятся в Москве в ближайший день, может быть различным. Оно может быть равным нулю (не родится ни одного мальчика: родятся все девочки или вообще не будет новорождённых), одному, двум и так далее до некоторого конечного числа n. К подобным величинам относятся: масса корнеплода сахарной свеклы на участке, дальность полёта артиллерийского снаряда, количество бракованных деталей в партии и так далее. Такие величины будем называть случайными. Они характеризуют все возможные результаты опыта или наблюдения с количественной стороны.

      Примерами дискретных случайных величин с конечным числом значений могут служить число родившихся детей в течение дня в населённом пункте, число пассажиров автобуса, число пассажиров, перевезённых московским метро за сутки и т. п.

      Число значений дискретной случайной величины может быть и бесконечным, но счётным множеством. Но в любом случае их можно в каком-то порядке пронумеровать, или, более точно — установить взаимно-однозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральными числами 1, 2, 3, . n.

      Внимание: новое, очень важное понятие теории вероятностей — закон распределения. Пусть дискретная случайная величина X может принимать n значений: . Будем считать, что они все различны (в противном случае одинаковые должны быть объединены) и расположены в возрастающем порядке. Для полной характеристики дискретной случайной величины должны быть заданы не только все её значения, но и верояности , с которыми случайная величина принимает каждое из значений, т. е. .

      Законом распределения дискретной случайной величины называется любое правило (функция, таблица) p(x), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она пример какое-то значение или попадёт в какой-то интервал).

      Наиболее просто и удобно закон распределения дискретной случайной величины задавать в виде следующей таблицы:

      В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей, описывающие законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин: биномиальный, Пуассона, экспоненциальный, равномерный, нормальный.

      Дискретные случайные величины

      Закон распределения $X$ имеет вид:

      Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли:

      $$ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^ = C_n^k \cdot p^k \cdot q^, k=0,1,2. n. $$

      Пуассоновское распределение ДСВ

      Разные многоугольники распределения при $\lambda = 1; 4; 10$.

      Геометрическое распределение ДСВ

      Формула для вероятностей:

      Случайная величина $X$ может принимать целые значения от $0$ до $K$ (если $n \lt K$, то до $n$). Вероятности вычисляются по формуле: $$ P(X=k)=\frac^>, \quad 0\le k \le K. $$

      Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

      Функция распределения величины $X$:

      Равномерное распределение НСВ

      Плотность распределения на отрезке $(a;b)$:

      $$ F(x)= \left\< \begin 0,\ x \le a\\ \frac ,\ a \lt x \le b, \\ 1,\ x \gt b, \\ \end \right. $$

      Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике.

      Функция Лапласа определяется как:

      Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины $X$ на величину $\delta$ от математического ожидания (по модулю).

      Курс лекций по дисциплине «Математика и информатика». Математика


      Загрузить всю книгу

      Часть 3. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения
      Глава 5. Случайные величины
      5.1. Понятие случайной величины

      В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

      Выпадение некоторого значения случайной величины Х это случайное событие: Х = хi. Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.

      Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.

      Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.

      Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою функцию распределения вероятностей. Прежде, чем дать определение функции распределения, рассмотрим переменные, которые её определяют. Пусть задано некоторое х – действительное число и получена случайная величина X, при этом (x>X). Требуется определить вероятность того, что случайная величина Х будет меньше этого фиксированного значения х.

      Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее значения х, то есть:

      Еще по теме:

      • Бетонные работы пособие Бетонные работы пособие А. К. ТРЕТЬЯКОВ, M. Д. РОЖНЕНКО АРМАТУРНЫЕ И БЕТОННЫЕ РАБОТЫ ОДОБРЕНО УЧЕНЫМ СОВЕТОМ ГОСУДАРСТВЕННОГО КОМИТЕТА СССР ПО ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОМУ ОБРАЗОВАНИЮ В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНИКА ДЛЯ СРЕДНИХ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКИХ […]
      • Выручка до уплаты налогов Прибыль до уплаты процентов и налогов EBIT Значок в формулах (акроним): EBIT Синонимы: чистая операционная прибыль, прибыль (убыток) от продаж, Earnings Before Interest and Tax, Net Operating profit Определение: представляет собой валовую прибыль за вычетом […]
      • Приказ о структуре подчинения Подробнее об этом смотреть ответ № 3. Подробности в материалах Системы: Ответ: Как внести изменения в штатное расписание Изменения в штатное расписание можно вносить в любое время, когда в этом есть необходимость, поскольку частоту и периодичность […]
      • Макарова наталья борисовна нотариус отзывы Макарова Наталья Борисовна — Нотариус Макарова Наталья Борисовна на Яндекс.Карте Дополнительно о Макарова Наталья Борисовна Часы приема: Пн-Чт: с 10:00 до 17:00 Пт: с 10:00 до 16:00 Перерыв на обед: с 13:00 до 14:00 Сб-Вс: выходные Офис 101, 105 Б […]
      • Нотариус на проспекте мира 184 Нотариусы района Москвы Алексеевский Ниже представлен список нотариусов в выбранной категории. Чтобы посмотреть подробную информацию по конкретному нотариусу, кликните по ФИО нотариуса. Нотариус Капитонов Сергей Иванович Телефон: (495) 411-77-55 Адрес: […]
      • Порядок начисления налога на усн Как с вами связаться? Порядок расчета налога Как уже было написано выше, налогооблагаемая база определяется нарастающим итогом. Нарастающий итог означает, что доходы и расходы считаются не поквартально, а с начала года до последнего дня отчетного […]
      • Приказ о применении унифицированных форм Приказ об утверждении форм первичных документов Еще 1 января 2013 года обязательность применения унифицированных форм документов была отменена пунктом 4 ст. 9 Федерального закона от 06.12.2011 №402-ФЗ «О бухгалтерском учете». Этой же статьей предписано […]
      • Как отчисляют алименты Удержание алиментов Чтобы алиментные средства, установленные к выплатам, удерживались из заработной платы, необходимо наличие на то документального основания: исполнительного документа, выданного на основании судебного решения или постановления (если это […]