Закон распределения примеры решения задач

Содержание:

Закон распределения дискретной случайной величины. Примеры решения задач

Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая лишь конечное или бесконечное (счетное) множество значений с определенными ненулевыми вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называется функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан одним из следующих способов.

1. Закон распределения может быть задан таблицей:

События X = xi (i = 1, 2, 3,…,n) являются несовместными и единственно возможными, т.е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице: р123+…+рn = ∑pi =1

2. Закон распределения может быть задан аналитически (формулой) P(X = xi) = ϕ(xi). Например:

а) с помощью биномиального распределения: Pn(X=k) = Сn k p k q n-k , 0 0, k = 0, 1, 2, … .

в) с помощью функции распределения F(x), определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X 2 или D(X) = M(X 2 )−[M(X)] 2 . Разность X–M(X) называют отклонением случайной величины от ее математического ожидания.
Для биномиального распределения D(X)=npq, для распределения Пуассона D(X)=λ

  • Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) σ(X)=√D(X).
  • Примеры решения задач по теме «Закон распределения дискретной случайной величины»

    Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

    Решение. По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X: 0, 10, 50, 100 и 500.

    Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

    Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы:

    Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

    Решение. Случайная величина X числа очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность того, что выпадет одно из данных значений равна 1/6. Закон распределения представим в виде таблицы:

    Найдем математическое ожидание величины Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

    Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

    Решение. 1. Дискретная случайная величина X= <число отказавших элементов в одном опыте>имеет следующие возможные значения: х1=0 (ни один из элементов устройства не отказал), х2=1 (отказал один элемент), х3=2 (отказало два элемента) и х4=3 (отказали три элемента).

    Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, определим вероятности значений:
    P3(0) = С3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
    P3(1) = С3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
    P3(2) = С3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
    P3(3) = С3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
    Проверка: ∑pi = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

    Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид:

    Дискретная случайная величина: примеры решений задач

    На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач о дискретных случайных величинах. Это довольно обширный раздел: изучаются разные законы распределения (биномиальный, геометрический, гипергеометрический, Пуассона и другие), свойства и числовые характеристики, для каждого ряда распределения можно строить графические представления: полигон (многоугольник) вероятностей, функцию распределения.

    Ниже вы найдете примеры решений о дискретных случайных величинах, в которых требуется применить знания из предыдущих разделов теории вероятностей для составления закона распределения, а затем вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения, дать ответы на вопросы о ДСВ и т.п.

    Примеры для популярных законов распределения вероятностей:

    Калькуляторы на характеристики ДСВ

    Решенные задачи о ДСВ

    Распределения, близкие к геометрическому

    Задача 1. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

    Задача 2. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.

    Задача 3. Стрелок, имея 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $\xi$ — число оставшихся патронов. Составить ряд распределения случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение с.в., построить функцию распределения с.в., найти $P(|\xi-m| \le \sigma$.

    Задача 4. В ящике содержится 7 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают детали последовательно до появления стандартной, не возвращая их обратно. $\xi$ — число извлеченных бракованных деталей.
    Составить закон распределения дискретной случайной величины $\xi$, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, начертить многоугольник распределения и график функции распределения.

    Задачи с независимыми событиями

    Задача 5. На переэкзаменовку по теории вероятностей явились 3 студента. Вероятность того, что первый сдаст экзамен, равна 0,8, второй — 0,7, третий — 0,9. Найдите ряд распределения случайной величины $\xi$ числа студентов, сдавших экзамен, постройте график функции распределения, найдите $М(\xi), D(\xi)$.

    Задача 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и С.К.О. этой случайной величины. Построить график функции распределения.

    Задача 7. По цели производится 4 выстрела. Вероятность попадания при этом растет так: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Найти закон распределения случайной величины $X$ — числа попаданий. Найти вероятность того, что $X \ge 1$.

    Задача 8. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина $X$- число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины $X$, найти ее математическое ожидание.

    Другие задачи и законы распределения ДСВ

    Задача 9. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания для первого баскетболиста равна 0,6, для второго – 0,7. Пусть $X$ — разность между числом удачных бросков первого и второго баскетболистов. Найти ряд распределения, моду и функцию распределения случайной величины $X$. Построить многоугольник распределения и график функции распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Найти вероятность события $(-2 \lt X \le 1)$.

    Задача 10. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт – случайная величина $X$, заданная так:
    0 1 2 3 4 5
    0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
    А) убедитесь, что задан ряд распределения,
    Б) найдите функцию распределения случайной величины $X$,
    В) если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы?
    Г) найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины $X$.

    Задача 11. Бросают 4 игральные кости. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

    Задача 12. Двое поочередно бросают монету до первого появления герба. Игрок, у которого выпал герб, получает от другого игрока 1 рубль. Найти математическое ожидание выигрыша каждого игрока.

    Решебник по терверу

    Нужны еще решения? Найди в решебнике свое (от 30 рублей и мгновенная доставка):

    Случайные величины. Дискретная случайная величина.
    Математическое ожидание

    Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам, которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:

    Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

    Случайные величины, как правило, обозначают через *, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, .

    * Иногда используют , а также греческие буквы

    Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей, где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:

    – количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.

    В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем); при этом случайная величина может принять одно из следующий значений:

    .

    – количество мальчиков среди 10 новорождённых.

    Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

    , либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

    И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

    – дальность прыжка в длину (в некоторых единицах).

    Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта 🙂

    Тем не менее, ваши гипотезы?

    Коль скоро, множество действительных чисел бесконечно, то случайная величина может принять бесконечно много значений из некоторого промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.

    Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы:

    1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно.

    …нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры!

    2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

    Примечание: в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

    Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную.

    Закон распределения дискретной случайной величины

    – это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

    Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

    А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

    или, если записать свёрнуто:

    Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

    Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

    Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

    Найти

    …наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля.

    Решение: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:

    Разоблачаем «партизана»:

    – таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

    Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

    Ответ:

    Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера:

    В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

    Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

    Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
    – вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

    С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

    И для :

    Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

    Ответ: искомый закон распределения выигрыша:

    Следующее задание для самостоятельного решения:

    Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

    …я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения. Решение и ответ в конце урока.

    Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.

    Математическое ожидание дискретной случайной величины

    Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

    или в свёрнутом виде:

    Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

    очка

    В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности.

    Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

    Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

    , таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно.

    Не верь впечатлениям – верь цифрам!

    Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения.

    Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

    Творческое задание для самостоятельного исследования:

    Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

    Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

    Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия, о которой мы узнаем во 2-й части урока.

    Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:

    Случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:

    Найти , если известно, что . Выполнить проверку.

    Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины, и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.

    Решения и ответы:

    Пример 3. Решение: по условию – вероятность попадания в мишень. Тогда:
    – вероятность промаха.

    Составим – закон распределения попаданий при двух выстрелах:

    – ни одного попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

    – одно попадание. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий:

    – два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

    Проверка: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

    Ответ:

    Примечание: можно было использовать обозначения – это не принципиально.

    Пример 4. Решение: игрок выигрывает 100 рублей в 18 случаях из 37, и поэтому закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:

    Вычислим математическое ожидание:

    Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.

    Пример 5. Решение: по определению математического ожидания:

    поменяем части местами и проведём упрощения:

    таким образом:

    Выполним проверку:

    , что и требовалось проверить.

    Ответ:

    Автор: Емелин Александр

    (Переход на главную страницу)

    Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

    Закон распределения примеры решения задач

    Скоро сессия студент? OkZachet.Ru — и нет проблем
    Опыт. Качество. Гарантии. Бесплатные доработки.
    г. Первоуральск, тел. 8(908)639-54-09, email: [email protected]

    Пример решения задачи по теории вероятностей — найти математическое ожидание и дисперсию

    Условие:
    В партии 5% нестандартных деталей. На удачу отобраны 5 деталей. Написать закон распределения дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди пяти отобранных; найти математическое ожидание и дисперсию.

    Пример решения задачи по теории вероятностей — найти параметры распределения дискретной случайной величины

    Условие:
    Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = e X .
    Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения, указанный на рисунке.

    Пример решения задачи по теории вероятностей — найти закон распределения

    Контрольная работа по теории вероятности

    Задание 371 – 380. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
    Решение. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):
    0, x ≤ -1

    1, x ≥ 1
    Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):
    f(x) = dF(x)/dx = 1 /2
    Математическое ожидание.

    Задание 391 – 400. Расчетное задание включает предварительную обработку статистики, построение линейной регрессионной модели:

    1. Найти объем выборок, относительные частоты и накопленные относительные частоты. Если случайная величина (СВ) задана интервалами, то определить середины интервалов.
    2. Построить полигон частот, гистограмму для СВ.
    3. Найти эмпирическую функцию распределения, построить график.
    4. Определить числовые оценки параметров распределения.

    Решение. Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y.
    Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
    Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
    P(X=xi, Y=yj) = pij, i=1,2. n, j=1,2. m

    Законы распределения дискретных случайных величин

    Можно выделить наиболее часто встречающиеся законы распределения дискретных случайных величин:

    • Биномиальный закон распределения
    • Пуассоновский закон распределения
    • Геометрический закон распределения
    • Гипергеометрический закон распределения
    • Для данных распределений дискретных случайных величин расчет вероятностей их значений, а также числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия, и т.д.) производится по определенных «формулам». Поэтому очень важно знать данные типы распределений и их основные свойства.

      1. Биномиальный закон распределения.

      Дискретная случайная величина $X$ подчинена биномиальному закону распределения вероятностей, если она принимает значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot <\left(1-p\right)>^$. Фактически, случайная величина $X$ — это число появлений события $A$ в $n$ независимых испытаний Бернулли. Закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

      $\begin<|c|c|>
      \hline
      X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
      \hline
      p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
      \hline
      \end$

      Для такой случайной величины математическое ожидание $M\left(X\right)=np$, дисперсия $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

      Пример. В семье двое детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными $0,5$, найти закон распределения случайной величины $\xi $ — числа мальчиков в семье.

      Пусть случайная величина $\xi $ — число мальчиков в семье. Значения, которые может принимать $\xi :\ 0,\ 1,\ 2$. Вероятности этих значений можно найти по формуле $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot <\left(1-p\right)>^$, где $n=2$ — число независимых испытаний, $p=0,5$ — вероятность появления события в серии из $n$ испытаний. Получаем:

      Тогда закон распределения случайной величины $\xi $ есть соответствие между значениями $0,\ 1,\ 2$ и их вероятностями, то есть:

      Сумма вероятностей в законе распределения должна быть равна $1$, то есть $\sum _^P(\xi _<<\rm i>> )=0,25+0,5+0,25=1 $.

      Математическое ожидание $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5$, среднее квадратическое отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt=\sqrt<0,5>\approx 0,707$.

      2. Закон распределения Пуассона.

      Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только целые неотрицательные значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=<<<\lambda >^k>\over >\cdot e^<-\lambda >$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.

      Замечание. Особенность этого распределения заключается в том, что мы на основании опытных данных находим оценки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, если полученные оценки близки между собой, то у нас есть основание утверждать, что случайная величина подчинена закону распределения Пуассона.

      Пример. Примерами случайных величин, подчиненных закону распределения Пуассона, могут быть: число автомашин, которые будут обслужены завтра автозаправочной станцией; число бракованных изделий в произведенной продукции.

      Пример. Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$. Найти закон распределения случайной величины $X$, равной числу поврежденных изделий; чему равно $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

      Пусть дискретная случайная величина $X$ — число поврежденных изделий. Такая случайная величина подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятности значений равны $P\left(X=k\right)=<<<\lambda >^k>\over >\cdot e^<-\lambda >$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.

      Закон распределения случайной величины $X$:

      Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равным между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

      3. Геометрический закон распределения.

      Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только натуральные значения $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=p<\left(1-p\right)>^,\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, то говорят, что такая случайная величина $X$ подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Фактически, геометрическое распределения представляется собой испытания Бернулли до первого успеха.

      Пример. Примерами случайных величин, имеющих геометрическое распределение, могут быть: число выстрелов до первого попадания в цель; число испытаний прибора до первого отказа; число бросаний монеты до первого выпадения орла и т.д.

      Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиненной геометрическому распределению, соответственно равны $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^2$.

      Пример. На пути движения рыбы к месту нереста находится $4$ шлюза. Вероятность прохода рыбы через каждый шлюз $p=3/5$. Построить ряд распределения случайной величины $X$ — число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Найти $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

      Пусть случайная величина $X$ — число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Такая случайная величина подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Значения, которые может принимать случайная величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений вычисляются по формуле: $P\left(X=k\right)=pq^$, где: $p=2/5$ — вероятность задержания рыбы через шлюз, $q=1-p=3/5$ — вероятность прохода рыбы через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

      $\begin<|c|c|>
      \hline
      X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
      \hline
      P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
      \hline
      \end$

      $M\left(X\right)=\sum^n_=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

      Среднее квадратическое отклонение:

      4. Гипергеометрический закон распределения.

      Если $N$ объектов, среди которых $m$ объектов обладают заданным свойством. Случайных образом без возвращения извлекают $n$ объектов, среди которых оказалось $k$ объектов, обладающих заданным свойством. Гипергеометрическое распределение дает возможность оценить вероятность того, что ровно $k$ объектов в выборке обладают заданным свойством. Пусть случайная величина $X$ — число объектов в выборке, обладающих заданным свойством. Тогда вероятности значений случайной величины $X$:

      Замечание. Статистическая функция ГИПЕРГЕОМЕТ мастера функций $f_x$ пакета Excel дает возможность определить вероятность того, что определенное количество испытаний будет успешным.

      $f_x\to $ статистические $\to $ ГИПЕРГЕОМЕТ $\to $ ОК. Появится диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Число_успехов_в_выборке указываем значение $k$. Размер_выборки равен $n$. В графе Число_успехов_в_совокупности указываем значение $m$. Размер_совокупности равен $N$.

      Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины $X$, подчиненной геометрическому закону распределения, соответственно равны $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=<\over >\right)\left(1-<\over >\right)>\over >$.

      Пример. В кредитном отделе банка работают 5 специалистов с высшим финансовым образованием и 3 специалиста с высшим юридическим образованием. Руководство банка решило направить 3 специалистов Для повышения квалификации, отбирая их в случайном порядке.

      а) Составьте ряд распределения числа специалистов с высшим финансовым образованием, которые могут быть направлены на повышение квалификации;

      б) Найдите числовые характеристики этого распределения.

      Пусть случайная величина $X$ — число специалистов с высшим финансовым образованием среди трех отобранных. Значения, которые может принимать $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Данная случайная величина $X$ распределена по гипергеометрическому распределению с параметрами: $N=8$ — размер совокупности, $m=5$ — число успехов в совокупности, $n=3$ — размер выборки, $k=0,\ 1,\ 2,\ 3$ — число успехов в выборке. Тогда вероятности $P\left(X=k\right)$ можно рассчитать по формуле: $P(X=k)=^ \cdot C_^ \over C_^ > $. Имеем:

      Тогда ряд распределения случайной величины $X$:

      $\begin<|c|c|>
      \hline
      X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
      \hline
      p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
      \hline
      \end$

      Рассчитаем числовые характеристики случайной величины $X$ по общим формулам гипергеометрического распределения.

      Высшая математика (раздел «Теория вероятностей и математическая статистика)

      ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. ЗАНЯТИЕ 6

      Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или двумерным случайным вектором. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величин X и Y.

      Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.

      Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) задана, если известен ее закон распределения: P(X=xi,Y=yj)=pij, i=1,2. n, j=1,2. m.

      Пример 1. Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами: X и Y. Закон распределения случайного вектора (X, Y) представлен в таблице:

      На пересечении i-ой строки и j-го столбца таблицы находятся вероятности pij = Pi,Y=yj>.

      Найти закон распределения координат X и Y случайного вектора.

      Решение. Вероятность события i>=pi, есть сумма вероятностей, находящихся в i-ой строке. Вероятности pi находятся в последнем столбце таблицы.

      Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

      Ряд распределения Y находим, вычисляя суммы элементов столбцов таблицы. Эти вероятности pj находятся в последней строке таблицы.

      Ряд распределения случайной величины Y имеет вид:

      Пример 2. Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) задана ее законом распределения:

      Написать ряды распределения для X и Y и вычислить для них выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения; проверить, зависимы ли X и Y.

      Решение. Находим ряды распределения X и Y.

      Пользуясь формулой ∑P(xi,yj)=pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

      Математическое ожидание M[X]:

      M[X] = (11·2+16·10+21·11+26·57+31·17+36·3)/100 = 25,3.

      D[X] = (11 2 ·2+16 2 ·10+21 2 ·11+26 2 ·57+31 2 ·17+36 2 ·3)/100-25,3 2 = 24,01.

      Среднее квадратическое отклонение σ(x):

      Пользуясь формулой ∑P(xi,yj)=qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

      Математическое ожидание M[Y]:

      M[Y] = (20·6+30·9+40·55+50·16+60·14)/100 = 42,3.

      D[Y] = (20 2 ·6+30 2 ·9+40 2 ·55+50 2 ·16+60 2 ·14)/100-42,3 2 = 99,71.

      Среднее квадратическое отклонение σ(y):

      Поскольку P(X=11,Y=20)=2≠2·6, то случайные величины X и Y зависимы.

      Условное распределение компонент дискретного случайного вектора (X, Y) – это ряд распределения одной случайной величины, вычисленной при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение, а именно:

      Пример 3. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины задано в таблице

      1) безусловные законы распределения составляющих;
      2) условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y=y2;
      3) коэффициент корреляции величин X и Y.

      Решение.

      1) Для нахождения безусловного закона распределения составляющей X сложим вероятности в столбцах, а для нахождения составляющей Y — вероятности в строках. Имеем:

      2) Вероятности условного закона распределения составляющей X условия Y=y2 находим по формуле:

      Запишем условный закон в виде таблицы

      3) Коэффициент корреляции rxy случайных величин X и Y:

      где σx и σy — средние квадратические отклонения, μxy – корреляционный момент,

      Математические ожидания, дисперсии и средние квадратические отклонения, т.е. MX, MY, DX, DY, σX, σY находим исходя из безусловных законов распределения составляющих (см. пункт 1) решения), а μxy — по исходной таблице.

      Находим повторную сумму в (2):

      По формуле μxy = 3,05-2,98·0,83 = 0,5766.

      Коэффициент корреляции по формуле (1):

      Задача. Случайная точка (ξ, η) на плоскости распределена по следующему закону:

      а) законы распределения каждой компоненты ξ и η;
      б) числовые характеристики для (ξ, η).

      Задача. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (ξ1, ξ2) задан в таблице.

      а) законы распределения одномерных случайных величин ξ1 и ξ2;
      б) условные законы распределения случайной величины ξ1 при условии ξ2=2 и случайной величины ξ2 при условии ξ1=1;
      в) вероятность P(ξ21).

      Задача. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике – 1 шар с № 1, 2 шара с № 2, 3 шара с № 3; во втором ящике – 2 шара с № 1, 3 шара с № 2 и 1 шар с № 3. Рассматриваются случайные величины: X — номер шара, вытянутого из первого ящика; Y — номер шара, вытянутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X, Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.

      Еще по теме:

      • Предельный закон распределения Предельный закон распределения Раздел 6. Типичные законы распределения и числовые характеристики случайных величин Вид функций F(x), р(х), или перечисление р(хi) называют законом распределения случайной величины. Хотя можно представить себе бесконечное […]
      • Государственные юристы минск Адвокатура. Адвокаты. Юридические услуги. Минская городская коллегия адвокатов Адрес: 220088, г. Минск, ул. Захарова, 50б. Телефон: (017) 285-21-05. Факс: (017) 285-22-38. Интернет-сайт: www.advokat.by Электронная почта: [email protected] […]
      • Возврат товара продавцу по гарантии Консультация юриста: возврат товара продавцу (инструкция). ВОЗВРАТ ТОВАРА ПРОДАВЦУ ДО ОКОНЧАНИЯ ДЕЙСТВИЯ ГАРАНТИИ. Шаг 1. Покупателю следует определиться с требованием. Согласно закону "О защите прав потребителей", в данном случае можно рассматривать только […]
      • Правила сложения матрицы СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МАТРИЦ. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО. I. Сложение матриц Рассмотрим пример сложения двух матриц размером 2х3. Пример 1. Даны две матрицы одинакового размера. Найти сумму А+В двух матриц. Рассмотрим еще один пример на сложение матриц […]
      • В каких случаях пишут претензию Автор: Соколова Ирина Евгеньевна, руководитель аналитического управления Объединения потребителей России Часто случается, что у потребителя возникают претензии к качеству приобретенного товара (к качеству выполненной работы), а продавец (или исполнитель, […]
      • Правила разложение многочленов на множители Математика Тестирование онлайн Представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов (или одночленов) Необходимо проанализировать каждый член многочлена, найти общую часть (если такая имеется). Например, в выражении каждый член имеет y. […]
      • Осаго липецкая область Операторы ОСАГО Липецкая область По собраным здесь отзывам и оценкам от клиентов, Вы можете найти лучший из ближайших к Вам пунктов ТО. Теперь у Вас есть выбор, куда поехать за заветной диагностической картой и получить ее с минимальными затратами времени и […]
      • Справочное пособие по высокочастотной схемотехнике Справочное пособие по высокочастотной схемотехнике. ПРЕДИСЛОВИЕ Каждая из трех глав этого справочника охватывает широкий круг вопросов, богато иллюстрирована и практически не связана с другими. В гл. 1 дается введение в так называемую 50-омную технику. Все […]