Правила математического округления

Округление натуральных чисел

Под округлением натурального числа понимают замену его таким ближайшим по значению числом, у которого одна или несколько последних цифр в его записи заменены нулями.

Правило округления:

Чтобы округлить натуральное число, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.

Цифра, записанная в выбранном разряде:

  • не меняется, если следующая за ней справа цифра — 0, 1, 2, 3 или 4;

Все цифры, стоящие справа от данного разряда, заменяются нулями.

Пример: 143 ≈ 140 (округление до десятков);
5671 ≈ 5700 (округление до сотен).

Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра в соседнем старшем разряде (слева) увеличивается на 1.

Пример: 796 ≈ 800 (округление до десятков);
970 ≈ 1000 (округление до сотен).

Округление десятичных дробей

Чтобы округлить десятичную дробь, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление. Цифра, записанная в данном разряде:

  • увеличивается на единицу, если следующая за ней справа цифра — 5,6,7,8 или 9.
  • Все цифры, стоящие справа от данного разряда, заменяются нулями. Если эти нули находятся в дробной части числа, то их не пишут.

    Пример: 143,64 ≈ 143,6 (округление до десятых);
    5,687 ≈ 5,69 (округление до сотых);
    27,945 ≈ 28 (округление до целых).

    Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра в предыдущем разряде (слева) увеличивается на 1.

    Пример: 89,6 ≈ 90 (округление до десятков);
    0,097 ≈ 0,10 (округление до сотых).

    Правила математического округления

    В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа как приближенные, так и точные, т. е. отбрасывать одну или несколько последних цифр. Чтобы обеспечить наибольшую близость округленного числа к округляемому, соблюдаются следующие правила.

    Правило 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т. е. увеличиваемая на единицу. Усиление совершается и тогда, когда первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней есть одна или несколько значащих цифр. (О случае, когда за отбрасываемой пятеркой нет цифр, см. ниже, правило 3.)

    Пример 1. Округляя число 27,874 до трех значащих цифр, пишем 27,9. Третья цифра 8 усилена до 9, так как первая отбрасываемая цифра 7 больше чем 5. Число 27,9 ближе к данному, чем неусиленное округленное число 27,8.

    Пример 2. Округляя число 36,251 до первого десятичного знака, пишем 36,3. Цифра десятых 2 усилена до 3, так как первая отбрасываемая цифра равна 5, а за ней есть значащая цифра 1. Число 36,3 ближе к данному (хотя и незначительно), чем неусиленное число 36,2.

    Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше чем 5, то усиления не делается.

    Пример 3. Округляя число 27,48 до единиц, пишем 27. Это число ближе к данному, чем 28.

    Правило 3. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т. е. последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и усиливается, если она нечетная. Почему применяется это правило, сказано ниже (см. замечание).

    Пример 4. Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем 0,046. Усиления не делаем, так как последняя сохраняемая цифра 6 — четная. Число 0,046 столь же близко к данному, как 0,047.

    Пример 5. Округляя число 0,935 до второго десятичного знака, пишем 0,94. Последняя сохраняемая цифра 3 усиливается, так как она нечетная.

    Пример 6. Округляя числа 6,527; 0,456; 2,195; 1,450; 0,950; 4,851; 0,850
    до первого десятичного знака, получаем:
    6,5; 0,5; 2,2; 1,4; 1,0; 4,9; 0,8.

    Замечание. Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления (см. примеры 4 и 5). Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточные. Взаимная компенсация погрешностей обеспечит наибольшую точность результата.

    Числа округляют и до других разрядов — десятых, сотых, десятков, сотен и т. д.

    Если число округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.

    Правило №1. Если первая из отбрасываемых цифр больше или равняется 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т. е. увеличивается на единицу.

    Дано число 45,769, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра — 6 ˃ 5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (7) усиливается, т. е. увеличивается на единицу. И, таким образом, округленное число будет — 45,8.

    Дано число 5,165, которое нужно округлить до сотых. Первая отбрасываемая цифра – 5 = 5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (6) усиливается, т. е. увеличивается на единицу. И, таким образом, округленное число будет — 5,17.

    Правило №2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5, то усиление не делается.

    Дано число 45,749, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра — 4

    Правило №3. Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число. Т. е. последняя цифра остается неизменной, если она четная и усиливается, если — нечетная.

    Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем — 0,046. Усиления не делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (6) — четная.

    Округляя число 0,0415 до третьего десятичного знака, пишем — 0,042. Усиления делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (1) — нечетная.

    Правило округления чисел

    В приближенных вычислениях зачастую приходится округлять некоторые числа, как приближенные, так и точные, то есть убирать одну или несколько конечных цифр. Для того чтобы обеспечить наибольшую близость отдельного округленного числа к округляемому числу, следует соблюдать некоторые правила.

    Если первая из отделяемых цифр больше, чем число 5 , то последняя из оставляемых цифр усиливается, иначе говоря, увеличивается на единицу. Усиление так же предполагается и тогда, когда первая из убираемых цифр равна 5 , а за ней имеется одна или некоторое количество значащих цифр.

    Число 25,863 округлённо записывается как – 25,9 . В данном случае цифра 8 будет усилена до 9 , так как первая отсекаемая цифра 6 , больше чем 5 .

    Число 45,254 округлённо записывается как – 45,3 . Здесь цифра 2 будет усилена до 3 , так как первая отсекаемая цифра равна 5 , а за ней следует значащая цифра 1 .

    В случае если первая из отсекаемых цифр меньше чем 5 , то усиления не производится.

    Число 46,48 округлённо записывается как – 46 . Число 46 наиболее близко к округляемому числу, чем 47 .

    Если отсекается цифра 5 , а за ней не имеется значащих цифр, то округление выполняется на ближайшее четное число, другими словами, последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она четная, и усиливается в случае, если она нечетная.

    Число 0,0465 округлённо записывается как – 0,046 . В данном случае усиления не делается, так как последняя оставляемая цифра 6 является чётной.

    Число 0,935 округлённо записывается как – 0,94 . Последняя оставляемая цифра 3 усиливается, так как она является нечётной.

    Как округлить число до целого

    Применяя правило округления чисел, рассмотрим на конкретных примерах, как округлить число до целого.

    Правило округления числа до целого

    Чтобы округлить число до целого (или округлить число до единиц), надо отбросить запятую и все числа, стоящие после запятой.

    Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то число не изменится.

    Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, предыдущую цифру нужно увеличить на единицу.

    Округлить число до целого:

    Чтобы округлить число до целого, отбрасываем запятую и все стоящие после нее числа. Так как первая отброшенная цифра 2, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «восемьдесят шесть целых двадцать четыре сотых приближенно равно восьмидесяти шести целым».

    Округляя число до целого, отбрасываем запятую и все следующие за ней цифры. Так как первая из отброшенных цифр равна 8, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Двести семьдесят четыре целых восемьсот тридцать девять тысячных приближенно равно двести семидесяти пяти целым».

    При округлении числа до целого запятую и все стоящие за ней цифры отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр — 5, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых пятьдесят две сотых приближенно равно одной целой».

    Запятую и все стоящие после нее цифры отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Нуль целых триста девяносто семь тысячных приближенно равно нуль целых».

    Первая из отброшенных цифр — 7, значит, стоящую перед ней цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать девять целых семьсот четыре тысячных приближенно равно сорока целым». И еще пара примеров на округление числа до целых:

    27 Comments

    Не правильная теория про если цифра 46.5 это не 47 а 46 это называется еще банковским округлением к ближайшему четному округляется если после запятой 5 и за ним нет никакой цифры

    Уважаемый ShS! Возможно(?), в банках округление происходит по иным правилам. Не знаю, я не работаю в банке. На этом сайте речь идёт о правилах, действующих в математике.

    как округлить число 6,9?

    Чтобы округлить число до целого, надо отбросить все числа, стоящие после запятой. Отбрасываем 9, поэтому предыдущее число следует увеличить на единицу. Значит, 6,9 приближенно равно семи целым.

    На самом деле действительно не увеличивается цифра если после запятой 5 в любом финансовом учреждении

    Гм. В таком случае финансовые учреждения в вопросах округления руководствуются не законами математики, а своими собственными соображениями.

    Скажите, как округлить 46,466667. Запуталась

    Если требуется округлить число до целого, то надо отбросить все цифры, стоящие после запятой. Первая из отброшенных цифр равна 4, поэтому предыдущую цифру не изменяем:

    Уважаемая Светлана Ивановна. Плохо же Вы знакомы с правилами математики.

    Правило. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т. е. последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и усиливается, если она нечетная.

    И Соответственно: Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем 0,046. Усиления не делаем, так как последняя сохраняемая цифра 6 — четная. Число 0,046 столь же близко к данному, как 0,047.

    Уважаемый гость! Да будет Вам известно, в математике для округление числа существуют различные способы округления. В школе изучают один из них, состоящий в отбрасывании младших разрядов числа. Я рада за Вас, что Вы знаете другой способ, но неплохо бы не забывать и школьные знания.

    Спасибо вам большое! Нужно было округлить 349,92. Получается 350. Спасибо за правило ?

    как правильно округлить 5499,8?

    Если речь об округлении до целого, то отбросить все цифры, стоящие после запятой. Отброшенная цифра — 8, следовательно, предыдущую увеличиваем на единицу. Значит, 5499,8 приближенно равно 5500 целым.

    Доброго дня!
    А вот такой вопрос возник сейас:
    Есть три числа: 60.56% 11.73% и 27.71% Каким образом окрулить до целых знаечний? Чтобы в сумме то 100 осталось. Если просто округлять, то 61+12+28=101 Плучается неувязочка. (Если, как тыт писали, по «банковскому» методу — в данном случае получится, но в случае, например 60.5% и 39.5% получится опять что-то пало — 1% потеряем). Как быть?

    О! помог метод от «гость 02.07.2015 12:11″
    Благодарю»

    Не знаю меня в школе учили так:
    1.5 => 1
    1.6 => 2
    1.51 => 2
    1.51 => 1.6

    Возможно, Вас так учили.

    0, 855 до сотых помогите пожалуйста

    0, 855≈0,86 (отброшена 5, предыдущую цифру увеличиваем на 1).

    Округлить 2,465 до целого числа

    2,465≈2 (первая отброшенная цифра — 4. Поэтому предыдущую оставляем без изменения).

    Как округлить 2,4456 до целого?

    2,4456 ≈ 2 (так как первая отброшенная цифра 4, предыдущую цифру оставляем без изменения).

    Исходя из правил кругления: 1,45=1,5=2, следовательно 1,45=2. 1,(4)5 = 2. Так ли это?

    Нет. Если требуется округлить 1,45 до целого, отбрасываем первую цифру после запятой. Поскольку это 4, предыдущую цифру не изменяем. Таким образом, 1,45≈1.

    В практической деятельности человека бывают числа двух видов: точные и приближённые . Часто знание лишь о приближённом числе достаточно для понимания сути дела. Иногда употребляют приближённые числа, так как точное не требуется, а иногда точное число невозможно найти в принципе.

    У треугольника 3 стороны. Число 3 – точное.

    Сколько учеников в вашей школе? Вряд ли кто-нибудь, кроме директора, ответит точно на этот вопрос. Ученик же посчитает так: 20 классов примерно по 25 человек, получится примерно 500. Если спрашивающего устраивает такая точность, можно считать, что мы получили хорошее приближение.

    В приближённых вычислениях часто приходится округлять как точные, так и приближённые числа. Под округлением понимают отбрасывание одной или нескольких последних цифр в десятичном представлении числа. При округлении соблюдают следующие правила.

    Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя из сохраняющихся цифр увеличивается на 1. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней следуют одна или несколько значащих цифр, то последняя из сохраняющихся цифр также увеличивается на 1.

    Округлить число 74,28 до десятых.

    При округлении числа 74,28 до десятых следует написать 74,3. Действительно, за цифрой 2, обозначающей разряд десятых следует цифра 8, которая больше 5. Следовательно, цифру 2 нужно увеличить на 1. Получается, как и было сказано, 74,3.

    Округлить число 74,253 до десятых.

    При округлении числа 74,253 до десятых также следует написать 74,3. Действительно, за цифрой 2, обозначающей разряд десятых, следует цифра 5, причём за этой цифрой есть ещё одна значащая цифра. Следовательно, цифру 2 нужно увеличить на 1. Получается, как и было сказано 74,3.

    Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из сохраняемых цифр остаётся неизменной.

    Округлить число 74,24 до десятых.

    При округлении числа 74,24 до десятых следует написать 74,2. Действительно, за цифрой 2, обозначающей разряд десятых, следует цифра 4, которая меньше 5. Следовательно, цифру 2 нужно оставить без изменения. Получается, как и было сказано, 74,2.

    Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет и никогда не было значащих цифр, то последняя из сохраняемых цифр остаётся неизменной, если она чётная, и увеличивается на 1, если она нечётная.

    Округлить до десятых число 74,25.

    Так как отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, причём сохраняемая цифра 2 – чётная, то её нужно оставить без изменений. Окончательно: 74,2.

    Округлить до десятых число 74,35.

    Так как отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, причём сохраняемая цифра 3 – нечётная, то её нужно увеличить на единицу (до чётного числа). Окончательно: 74,4.

    Замечание. Во многих практических задачах пользуются упрощёнными правилами округления, согласно которым цифра, если за ней стоят цифры 0, 1, 2, 3, 4, при округлении не изменяется и увеличивается на 1 в противоположном случае. Это правило немного отлично от строгого правила, приведённого в нашем курсе. Будьте внимательны при решении задач – следует пользоваться строгими правилами округления.

    3.4. Округление чисел. Приближенные вычисления

    Научившись умножать многозначные числа «в столбик», мы убедились, что это весьма муторное занятие. К счастью, мы будем этим заниматься недолго. В скором времени все сколь-нибудь сложные вычисления мы будем делать с помощью калькулятора. Сейчас мы практикуемся в счете исключительно в учебных целях, чтобы лучше понять и почувствовать «поведение» чисел. Впрочем, понимание и чутье можно с неменьшим успехом оттачивать на приближенных вычислениях, которые являются значительно более простыми. К ним-то мы теперь и приступим.

    Допустим, мы хотим купить пять шоколадок по 19 рублей. Мы смотрим в свой кошелек и хотим быстро сообразить, хватит ли нам на это денег. Мы рассуждаем так: 19 это примерно 20, а 20 умножить на 5 это 100. Вот тут у нас в кошельке как раз есть сто рублей с небольшим. Значит, денег достаточно. Математик бы сказал, что мы округлили девятнадцать до двадцати и проделали приближенные вычисления. Но начнем всё по порядку.

    Прежде всего оговоримся, что на первых порах мы будем заниматься округлением только положительных чисел. Делать это можно по-разному. Например, так:

    Значок «≈» читается как «приближенно равно». Здесь мы, как говорится, округлили числа вниз и, соотвественно, получили оценку снизу. Делается это очень просто: мы оставляем первую цифру числа такой, как она есть, а все последующие заменяем на нули. Ясно, что результат такого округления всегда оказывается меньше или равен исходному числу.

    С другой стороны, числа можно также округлять и вверх, получая, таким образом, оценку сверху:

    При таком округлении все цифры, начиная со второй, обращаются в нули, а первая цифра увеличивается на единицу. Особый случай возникает, когда первая цифра равна девятке, которая заменяется сразу на две цифры, 1 и 0:

    Результат округления вверх всегда больше или равен исходному числу.

    Таким образом, у нас есть выбор, в какую сторону округлять: вверх или вниз. Обычно округляют в ту сторону, в которую ближе. Очевидно, что в большинстве случаев 11 лучше округлить до 10-ти, а 19 — до 20-ти. Формальные правила таковы: если вторая цифра у нашего числа находится в пределах от нуля до 4-х, то округляем вниз. Если же эта цифра оказывается в пределах от 5-ти до 9-ти, то вверх. Таким образом:

    98 765 ≈ 100 000.

    Отдельно надо отметить ситуацию, когда у числа вторая цифра — пять, а все последующие равны нулю, например 1500. Это число находится на одинаковом расстоянии как от 2000, так и от 1000:

    2000 − 1500 = 500,

    1500 − 1000 = 500.

    Поэтому, казалось бы, всё равно, в какую сторону его округлять. Однако его принято округлять не куда-нибудь, а только вверх — для того, чтобы правила округления можно было сформулировать как можно проще. Если мы видим на втором месте пятерку, то этого уже достаточно для принятия решения о том, куда округлять: последующими цифрами можно уже совершенно не интересоваться.

    Пользуясь округлением чисел, мы теперь можем быстро, хотя и приближенно, решать примеры на умножение какой угодно сложности. Пусть требуется вычислить:

    Округляем оба сомножителя и за пару секунд получаем:

    6879 ∙ 267 ≈ 7000 ∙ 300 = 2 100 000 ≈ 2 000 000 = 2 миллиона.

    Для сравнения приведу точный ответ, который мы вычисляли, когда учились умножать в столбик:

    6879 ∙ 267 = 1 836 693.

    Что надо теперь сделать, чтобы понять, близко или далеко приближенный ответ отстоит от точного? — Конечно же, округлить точный ответ:

    6879 ∙ 267 = 1 836 693 ≈ 2 000 000 = 2 миллиона.

    У нас получилось, что после округления точный ответ стал равен приближенному. Значит, наш приближенный ответ не так уж и плох. Впрочем, надо заметить, что такая точность достигается далеко не всегда. Пусть надо вычислить 1497∙143. Приближенные вычисления выглядят так:

    1497 ∙ 143 ≈ 1000 ∙ 100 = 100 000 = 100 тысяч.

    А вот точный ответ (с последующим его округлением):

    1497 ∙ 143 = 214 071 ≈ 200 000 = 200 тысяч.

    Таким образом, точный ответ после округления оказался в 2 раза больше, чем приближенный. Это, конечно, не очень хорошо. Но признаюсь честно: я специально взял один из самых худших случаев. Обычно точность приближенных расчетов бывает всё же лучше.

    Впрочем, мы до сих пор округляли числа и делали приближенные рассчеты лишь в самой, так сказать, грубой форме. Из всех разрядов числа мы оставляли незануленным только один — самый старший. Говорят, что мы округляли числа с точностью до одной значащей цифры. Однако мы можем округлять и поаккуратней, например, до двух значащих цифр:

    Правило тут почти такое же, как и раньше. Все разряды, кроме двух самых старших, зануляем. Если в первом из зануленных разрядов стояла цифра в пределах от нуля до 4-х, то ничего больше не делаем. Если же эта цифра была в пределах от 5-ти до 9-ти, то в последний из незануленных разрядов добавляем единицу. Заметим, что если в разряде, в который добавляется единица, стоит девятка, то этот разряд переполняется и скидывается в ноль, а единицу «наследует» более старший разряд. То есть получается вот что:

    195 ≈ 190 + 10 = 200,

    995 ≈ 990 + 10 = 1000.

    Подобным же образом определяется и округление до трех значащих цифр и так далее.

    Возвращаемся к нашему примеру. Посмотрим, что будет, если округлять числа не до одной, а до двух значащих цифр:

    1497 ∙ 143 ≈ 1500 ∙ 140 = 210 000 = 210 тысяч.

    И еще раз сравним с точным ответом:

    1497 ∙ 143 = 214 071 ≈ 210 000 ≈ 210 тысяч.

    Не правда ли, наше приближенное вычисление стало заметно точнее?

    А вот еще один знакомый пример, для которого мы напишем два варианта приближенных ответов и сопоставим их с ответом точным:

    6879 ∙ 267 ≈ 7 000 ∙ 3 00 = 2 100 000 ≈ 2 000 000,

    6879 ∙ 267 ≈ 69 00 ∙ 27 0 = 1 863 000 ≈ 1 9 00 000,

    6879 ∙ 267 = 1836693 ≈ 1 8 00 000 ≈ 2 000 000.

    Тут самое время упомянуть о таком правиле: Если сомножители округлены до одной значащей цифры, то и приближенный ответ следует сразу же округлить до одной значащей цифры. Если сомножители округлены до двух значащих цифр, то и ответ надо округлять до двух значащих цифр. Вообще, сколько значащих цифр у сомножителей, столько же значащих цифр должно остаться у произведения. Поэтому в первой строчке, едва получив 2 100 000, мы тут же округлили это число до 2 000 000. Так же и во второй строчке: мы не стали останавливаться на промежуточном результате 1 863 000, а сразу же округлили его до 1 9 00 000. Почему так? Потому что в числе 2 100 000 все разряды, кроме самого первого, всё равно вычислены неверно. Подобным же образом, в числе 1 863 000 неверно вычислены все разряды, кроме первых двух. Давайте взглянем на соответствующие расчеты, сделанные «в столбик»:

    Здесь слева воспроизведены точные вычисления, а справа — приближенные, выполненные после округления сомножителей до двух значащих цифр. Вместо нулей мы написали кружочки, чтобы подчеркнуть, что на самом деле за этими кружочками-нулями стоят какие-то другие цифры, которые после округления стали нам неизвестны. Не зная всех цифр в первых двух строчках, мы также не можем вычислить всех цифр и в последующих строчках — поэтому там тоже встречаются кружочки. Теперь всмотримся внимательнее: в двух самых старших разрядах нам кружочки нигде не попадаются. Значит, в ответной строке эти разряды вычислены более или менее точно. Но уже в третьем по старшинству разряде есть один кружочек, под которым подразумевается неизвестная нам цифра. Поэтому третий разряд в ответной строке мы, на самом деле, вычислить не можем. Тем более это относится к четвертому и последующим разрядам. Вот эти-то все разряды с неизвестными значениями и должны быть занулены в ходе последующего округления.

    А что, интересно, будет, если один из сомножителей округлен с точностью до трех значащих цифр, а другой — только до одной? Давайте посмотрим, как будет выглядеть расчет в этом случае:

    Мы видим, что сколь-нибудь надежно определен только самый старший разряд, поэтому округлять ответ надо до одной значащей цифры:

    6879 ∙ 267 ≈ 6880 ∙ 3 00 = 2 064 000 ≈ 2 000 000

    Мы видим также, что значащая цифра (в данном случае, 2) может отличаться от истинной (в данном случае, 1), но, как правило, не больше чем на единицу.

    В общем случае, мы должны ориентироваться на сомножитель с наименьшим числом значащих цифр: точно до такого же числа значащих цифр следует округлять ответ.

    До сих пор мы говорили только о приближенном умножении. А как насчет сложения? — Разумеется, сложение тоже может быть приближенным. Только округлять слагаемые, подготавливая их к приближенному сложению, надо не совсем так, как мы округляли сомножители, подготавливая их к приближенному умножению. Рассмотрим пример:

    61 238 + 349 = 61 587.

    Округлим, для начала, каждое из слагаемых до одной значащей цифры:

    61 238 + 349 ≈ 60 000 + 300 = 60 300 ≈ 60 000.

    Или, если записать в столбик:

    Интересно отметить, что здесь вместо тройки мы могли бы поставить совершенно любую цифру, и это никак бы не отразилось на конечном ответе. С тем же успехом мы могли бы написать:

    61 238 + 349 ≈ 60 000 + 000 = 60 000.

    Мы можем тут вместо второго слагаемого написать 0, или, как еще говорится, полностью пренебречь им по сравнению с первым слагаемым. Попробуем увеличить точность наших расчетов. Округляем теперь до двух значащих цифр:

    61 238 + 349 ≈ 61 000 + 350 = 61 350 ≈ 61 000.

    И снова мы могли бы сразу пренебречь вторым слагаемым и написать:

    61 238 + 349 ≈ 61 000 + 0 = 61 000.

    Лишь когда мы увеличиваем точность округления до трех значащих цифр, второе слагаемое начинает играть какую-то роль:

    61 238 + 349 ≈ 61 200 + 349 = 61 549 ≈ 61 500.

    Однако мы снова перестарались с точностью второго слагаемого: для него вполне было бы досточно и одной значащей цифры:

    61 238 + 349 ≈ 61 200 + 300 = 61 500.

    Тут действует такое правило: слагаемые, в отличие от сомножителей, следует округлять не до одинакового числа значащих цифр, а до одного и того же разряда. Округлить до разряда десятков — значит, округлить так, чтобы последняя значащая цифра результата округления находилась в разряде десятков. При округлении до разряда сотен последняя значащая цифра находится в разряде сотен и так далее. Приближенный ответ сразу же оказывается округлен с нужной точностью и дальнейшего округления не требует. Выпишем еще раз наш пример, посчитав его с различной точностью:

    61 238 + 349 = 61 587 (точный расчет),

    61 238 + 349 ≈ 61 240 + 350 = 61 590 (округление до десятков),

    61 238 + 349 ≈ 61 200 + 300 = 61 500 (до сотен),

    61 238 + 349 ≈ 61 000 + 0 = 61 000 (до тысяч),

    61 238 + 349 ≈ 60 000 + 0 = 60 000 (до десятков тысяч),

    61 238 + 349 ≈ 100 000 + 0 = 100 000 (до сотен тысяч).

    Следует отметить, что при округлении второго слагаемого (349) до тысяч (и, тем более, до более старших разрядов) получается ноль. Здесь в последней строке мы встречаемся также с еще одним примечательным случаем:

    61 238 ≈ 100 000,

    когда число округляется до более высокого разряда, чем те, которые содержатся в нем самом, — и всё же результат такого округления оказывается отличным от нуля.

    Рассмотрим теперь приближенное вычитание. Мы знаем, что вычитание можно рассматривать просто как одну из разновидностей сложения. Поэтому правила приближенного вычитания вообще-то совпадают с правилами приближенного сложения. Однако тут возможна особая ситуация, которая возникает, когда мы вычисляем разность близких друг к другу чисел. Допустим, требуется грубо оценить, чему равно значение выражения:

    После грубого округления членов разности мы получаем:

    Прямо скажем, получилось не очень-то хорошо. Точное значение, как нетрудно вычислить, таково:

    Всё-таки есть немалая разница между нулем и одиннадцатью! Поэтому даже при самых грубых оценках члены разности принято округлять до такого разряда, чтобы результат был всё же отличен от нуля:

    7654 − 7643 ≈ 7650 − 7640 = 10.

    А вот еще одна неприятность, которая может случиться при приближенном вычитании:

    2500 − 2499 ≈ 3000 − 2000 = 1000.

    Мы получили в ответе аж тысячу, в то время как точное значение разности равно всего лишь единице! Тут уж надо смотреть внимательно и не допускать, что называется, формалистского подхода.

    Впрочем, возможны такие ситуации, когда значение разности требуется вычислить с точностью до какого-то заранее предопределенного разряда, например, до разряда тысяч. В этом случае вполне допустимо именно так и писать:

    7654 − 7643 ≈ 8000 − 8000 = 0.

    Формально мы совершенно правы. Мы ошибаемся в разряде тысяч не более, чем на одну единицу, а это — совершенно обычное дело, когда мы работаем с такой точностью, при которой последняя значащая цифра приходится как раз на разряд тысяч. Подобным же образом, с точностью до сотен:

    7654 − 7643 ≈ 7700 − 7600 = 100.

    2500 − 2499 ≈ 2500 − 2500 = 0.

    Хотя приближенные вычисления — вещь довольно простая, подходить к ней совсем уж бездумно нельзя. Всякий раз точность приближения надо выбирать исходя из поставленной задачи и здравого смысла.

    Нам осталось рассмотреть приближенное деление. Забегая вперед, скажу, что деление можно рассматривать как разновидность умножения. Поэтому правила приближенного деления — те же самые, как и в случае умножения: делимое и делитель надо округлить до одинакового числа значащих цифр, и это же самое число значащих цифр должно оставаться в ответе.

    Но мы до сих пор не проходили деление по-настоящему. Мы умеем делить нацело и делить с остатком, но поделить «по-взрослому», без остатка, одно произвольное число на другое мы еще не можем. Поэтому мы пока выработаем, так сказать, временные правила приближенного деления, отвечающие нашему сегодняшнему пониманию предмета. Делить мы пока будем только грубо, с точностью до одной значащей цифры.

    Пусть требуется приближенно вычислить:

    Прежде всего округлим делитель (324) до одной значащей цифры:

    76 464 / 324 ≈ 76 464 / 300.

    Теперь сравним единственную значащую цифру делителя (3) с первой цифрой делимого (7). Тут, в принципе, возможно два случая. Первый случай заключается в том, что первая цифра делимого оказывается больше или равна единственной значащей цифре делителя. Этот случай мы сейчас и рассмотрим, потому что именно он реализуется в данном примере, так как 7 ≥ 3. Теперь мы зануляем все разряды делимого, кроме самого старшего, а значение старшего разряда округляем до ближайшего числа, делящегося нацело на значащую цифру делителя:

    76 464 / 324 ≈ 76 464 / 300 ≈ 90 000 / 300.

    Заметим, что, по стандартным правилам округления, 76 464 ≈ 80 000, однако, поскольку 8 не делится нацело на 3, мы «пошли еще дальше вверх», так что у нас оказалось 76 464 ≈ 90 000. Далее, у делимого и у делителя убираем одновременно «с хвоста» одинаковое число «лишних нулей»:

    76 464 / 324 ≈ 76 464 / 300 ≈ 90 000 / 300 = 900 / 3.

    После этого выполнить деление не составляет никакого труда:

    76 464 / 324 ≈ 76 464 / 300 ≈ 90 000 / 300 = 900 / 3 = 300.

    Приближенный ответ готов. Приведу для сравнения точный ответ:

    76 464 / 324 = 236 ≈ 200.

    Как видно, расхождение в единственной значащей цифре приближенного ответа составляет одну единицу, что вполне приемлемо.

    Пусть теперь надо закончить такие приближенные вычисления:

    Еще по теме:

    • Олеко дундича 8 нотариус Нотариальные конторы, нотариусы Санкт-Петербурга, Фрунзенский район Нотариусы , Фрунзенский район СПб Нотариус Асландзия Я. В. Метро: Бухарестская , 1000м 1 9 2 2 3 6, Санкт-Петербург, Софийская ул, д.17, БЦ Формула Нотариус Метро: Бухарестская , 200м 1 9 2 […]
    • Добавлена ли пенсия в октябре Стало известно, кому повысят пенсии уже с октября Правительство также хочет отменить налогообложение пенсионеров, которые работают. Кабинет Министров планирует уже с 1 октября повысить пенсии 5,62 млн украинцев. Об этом, говоря об итогах года работы […]
    • Оформленное ядро с хромосомами Отличия прокариот и эукариот Все живые организмы на Земле делятся на две группы: прокариот и эукариот. Эукариоты – это растения, животные и грибы. Прокариоты – это бактерии (в том числе цианобактерии, они же "сине-зеленые водоросли"). Главное […]
    • Штраф проезд под красный Ответственность за проезд на красный свет Во всём мире принято, что загорание красного фонаря на светофоре означает прекращение движения. КоАП квалифицирует проезд на красный сигнал светофора как грубое нарушение ПДД и предусматривает административную […]
    • Сайт невский суд Невский районный суд г. Санкт-Петербурга Место в судебной системе В соответствии со статьей 4 Федерального конституционного закона от 31 декабря 1996 г. N 1-ФКЗ "О судебной системе Российской Федерации", районные суды относятся к судам системы федеральных […]
    • Расчет неустойки долга по алиментам Расчет неустойки долга по алиментам Автострахование Жилищные споры Земельные споры Административное право Участие в долевом строительстве Семейные споры Гражданское право, ГК РФ Защита прав потребителей Трудовые споры, пенсии […]
    • Конспект урока по обществознанию преступление Конспект урока по обществознанию. 9-й класс Цель урока: расширить и углубить представления учащихся о юридической ответственности за совершение правонарушений. Ожидаемые учебные результаты После занятия учащиеся смогут: знания называть виды […]
    • Фсс пермь заявление Размеры пособий, с учетом увеличения МРОТ с 1 мая 2018 Ежемесячное пособие по уходу за ребенком Размер ежемесячного пособия по уходу за ребенком, для лиц, не подлежащих обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с […]