Закон больших чисел суть

Закон больших чисел суть

В начале курса мы уже говорили о том, что математические законы теории вероятностей получены абстрагированием реальных статистических закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям. Наличие этих закономерностей связано именно с массовостью явлений, то есть с большим числом выполняемых однородных опытов или с большим числом складывающихся случайных воздействий, порождающих в своей совокупности случайную величину, подчиненную вполне определенному закону. Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человечеству еще с глубокой древности. В какой бы области оно ни проявлялось, суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате масс и таких явлений; случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном явлении, в массе взаимно погашаются, нивелируются, выравниваются. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание «закона больших чисел», понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

В узком смысле слова под «законом больших чисел» в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

В 2.3 мы уже формулировали простейшую из этих теорем — теорему Я. Бернулли. Она утверждает, что при большом числе опытов частота события приближается (точнее — сходится по вероятности) к вероятности этого события. С другими, более общими формами закона больших чисел мы познакомимся в данной главе. Все они устанавливают факт и условия сходимости по вероятности тех или иных случайных величин к постоянным, не случайным величинам.

Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях теории вероятностей. Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать с этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.

Возможности таких предсказаний в области массовых случайных явлений еще больше расширяются наличием другой группы предельных теорем, касающихся уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Речь идет о группе теорем, известных под названием «центральной предельной теоремы». Мы уже говорили о том, что при суммировании достаточно большого числа случайных величин закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному при соблюдении некоторых условий. Эти условия, которые математически можно формулировать различным образом — в более или менее общем виде, — по существу сводятся к требованию, чтобы влияние на сумму отдельных слагаемых было равномерно малым, т. е. чтобы в состав суммы не входили члены, явно преобладающие над совокупностью остальных по своему влиянию на рассеивание суммы. Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой теми условиями, для которых устанавливается это предельное свойство суммы случайных величин.

Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятностей. Предельные теоремы дают возможность не только осуществлять научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.

В данной главе мы рассмотрим только некоторые, наиболее простые формы предельных теорем. Сначала будут рассмотрены теоремы, относящиеся к группе «закона больших чисел», затем — теоремы, относящиеся к группе «центральной предельной теоремы».

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

§ 5. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

2. Закон больших чисел Чебышева.

Имеет место следующее утверждение. Пусть — последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. для любого i. Тогда, каково бы нибыло , справедливо соотношение

Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем. В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.
Частный случай закона больших чисел Чебышева. Пусть — последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. и одинаковые математические ожидания . Тогда, каково бы нибыло , справедливо соотношение

Это непосредственно следует из формулы (54), так как

Замечание. Говорят, что случайная величина сходится по вероятности к числу А, если при сколь угодно малом вероятность неравенства с увеличением n неограниченно приближается к единице. Сходимость по вероятности не означает, что . Действительно, в последнем случае неравенство выполняется для всех достаточно больших значений n. В случае же сходимости по вероятности это неравенство для отдельных сколь угодно больших значений n может не выполняться. Однако невыполнение неравенства для больших значений n есть событие очень редкое (маловероятное). Принимая это во внимание, частный случай закона больших чисел Чебышева можно сформулировать так.
Средняя арифметическая попарно независимых случайных величин , имеющих ограниченные в совокупности дисперсии и одинаковые математические ожидания , сходится по вероятности к а.
Поясним смысл частного случая закона больших чисел Чебышева. Пусть требуется найти истинное значение а некоторой физической величины (например, размер некоторой детали). Для этого будем производить ряд независимых друг от друга измерений. Всякое измерение сопровождается некоторой погрешностью (см. подробнее § 6, п. 1). Поэтому каждый возможный результат измерения есть случайная величина (индекс i — номер измерения). Предположим, что в каждом измерении нет систематической ошибки, т. е. отклонения от истинного значения а измеряемой величины в ту и другую стороны равновероятны. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны измеряемой величине а, т. е.
Предположим, наконец, что измерения производятся с некоторой гарантированной точностью. Это значит, что для всех измерений . Таким образом, мы находимся в условиях закона больших чисел Чебышева, а потому, если число измерений достаточно велико, то с практической достоверностью можно утверждать, что каково бы ни было , средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения а меньше, чем на

Сущность закона больших чисел

Закон больших чисел.

Тема 2.

Организация государственной статистики в РФ.

Задачи статистики.

Метод статистики.

Отрасли статистики.

Общая теория статистики связана с другими науками.

Статистика также разрабатывает теорию наблюдения.

Метод статистики предполагает следующую последовательность действий:

1. разработка статистической гипотезы,

2. статистическое наблюдение,

3. сводка и группировка статистических данных,

4. анализ данных,

5. интерпретация данных.

Прохождение каждой стадии связано с использованием специальных методов, объясняемых содержанием выполняемой работы.

1. Разработка системы гипотез, характеризующих развитие, динамику, состояние социально-экономических явлений.

2. Организация статистической деятельности.

3. Разработка методологии анализа.

4. Разработка системы показателей для управления хозяйством на макро- и микроуровне.

5. Сделать данные статистического наблюдения общественно доступными.

1. централизованное руководство,

2. единое организационное строение и методология,

3. неразрывная связь с органами государственного управления.

Система государственной статистики имеет иерархическую структуру, состоящую из федерального, республиканского, краевого, областного, окружного, городского и районного уровней.

Госкомстат имеет управления, отделы, вычислительный центр.

Массовый характер общественных законов и своеобразие их действий предопределяет необходимость исследования совокупных данных.

Закон больших чисел порожден особыми свойствами массовых явлений, которые, с одной стороны, отличаются друг от друга, а с другой – имеют нечто общее, обусловленное их принадлежностью к определенному классу, виду. Причем единичные явления в большей степени подвержены воздействию случайных факторов, нежели их совокупность.

Закон больших чисел – это определение количественных закономерностей массовых явлений, которые проявляются лишь в достаточно большом их числе.

Таким образом, сущность его заключается в том, что в числах, получающихся в результате массового наблюдения, выступают определенные правильности, которые не могут быть обнаружены в небольшом числе фактов.

Закон больших чисел выражает диалектику случайного и необходимого. В результате взаимопогашения случайных отклонений средние величины, исчисленные для величины одного и того же вида, становятся типичными, отражающими действия постоянных и существенных фактов в условиях места и времени.

Тенденции и закономерности, вскрытые с помощью закона больших чисел, имеют силу лишь как массовые тенденции, но не как законы для каждого отдельного случая.

Сущность закона больших чисел и его значение в статистике и экономике;

Понятие о центральной предельной теореме.

Неравенство и теорема Чебышева.

Сущность закона больших чисел и его значение в статистике и экономике.

Тема 8. Закон больших чисел

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается совокупность теорем, в которых устанавливается связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий.

В повседневной жизни, бизнесе, научных исследованиях мы постоянно сталкиваемся с событиями и явлениями с неопределённым исходом. Например, торговец не знает, сколько посетителей придёт к нему в магазин, бизнесмен не знает курс доллара через 1 день или год; банкир – вернут ли ему заём в срок; страховые компании – когда и кому придётся выплачивать страховое вознаграждение.

Развитие любой науки предполагает установление основных закономерностей и причинно-следственных связей в виде определений, правил, аксиом, теорем.

Связующим звеном между теорией вероятностей и математической статистикой являются так называемые предельные теоремы, к которым относится закон больших чисел. Закон больших чисел определяет условия, при которых совокупное воздействие множества факторов приводит к результату, не зависящего от случая. В самом общем виде закон больших чисел сформулировал П.Л.Чебышев. Большой вклад в изучение закона больших чисел внесли А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Б.В.Гнеденко, В.И.Гливенко.

К предельным теоремам относится также так называемая Центральная предельная теорема А.Ляпунова, определяющая условия, при которых сумма случайных величин будет стремиться к случайной величине с нормальным законом распределения. Эта теорема позволяет обосновать методы проверки статистических гипотез, корреляционно-регрессионный анализ и другие методы математической статистики.

Дальнейшее развитие центральной предельной теоремы связано с именами Линденберга, С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина, П.Леви.

Практическое применение методов теории вероятностей и математической статистики основано на двух принципах, фактически основывающихся на предельных теоремах:

принцип невозможности наступления маловероятного события;

принцип достаточной уверенности в наступлении события, вероятность которого близка к 1.

В социально – экономическом смысле под законом больших чисел понимается общий принцип, в силу которого количественные закономерности, присущие массовым общественным явлениям, отчетливо проявляются лишь в достаточно большом числе наблюдений. Закон больших чисел порожден особыми свойствами массовых социальных явлений. Последние, в силу своей индивидуальности, отличаются друг от друга, а также имеют нечто общее, обусловленное их принадлежностью к определенному виду, классу, к определенным группам. Единичные явления в большей степени подвержены воздействию случайных и несущественных факторов, чем масса в целом. В большом числе наблюдений взаимно погашаются случайные отклонения от закономерностей. В результате взаимопогашения случайных отклонений средние, исчисленные для величин одного и того же вида, становятся типичными, отражающими действие постоянных и существенных факторов в данных условиях места и времени. Тенденции и закономерности, вскрытые с помощью закона больших чисел, — это массовые статистические закономерности.

Закон больших чисел

Взаимодействуя ежедневно в работе или учебе с цифрами и числами, многие из нас даже не подозревают о том, что существует очень интересный закон больших чисел, применяемый, например, в статистике, экономике и даже психолого-педагогических исследованиях. Он относится к теории вероятностей и говорит о том, что среднее арифметическое какой-либо большой выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.

Вы, наверное, заметили, что понять сущность этого закона непросто, особенно тем, кто не особо дружит с математикой. Исходя из этого, мы бы хотели рассказать о нем простым языком (насколько это возможно, конечно), чтобы каждый мог хотя бы примерно уяснить для себя, что это такое. Эти знания помогут вам лучше разобраться в некоторых математических закономерностях, стать более эрудированным и положительным образом повлиять на развитие мышления.

Понятия закона больших чисел и его трактовка

Помимо рассмотренного нами выше определения закона больших чисел в теории вероятностей, можно привести и его экономическое толкование. В этом случае он представляет собой принцип, согласно которому частоту финансовых потерь конкретного вида можно предсказать с высокой степенью достоверности тогда, когда наблюдается высокий уровень потерь подобных видов вообще.

Помимо этого, в зависимости от уровня сходимости признаков можно выделить слабый и усиленный законы больших чисел. О слабом речь идет, когда сходимость существует по вероятности, а об усиленном – когда сходимость существует практически во всем.

Если интерпретировать несколько иначе, то следует сказать так: всегда можно найти такое конечное число испытаний, где с любой запрограммированной наперед вероятностью меньше единицы относительная частота появления какого-то события будет крайне мало отличаться от его вероятности.

Таким образом, общую суть закона больших чисел можно выразить так: результатом комплексного действия большого количества одинаковых и независимых случайных факторов будет такой результат, который не зависит от случая. А если говорить еще более простым языком, то в законе больших чисел количественные закономерности массовых явлений будут явно проявляться только при большом их числе (поэтому и называется закон законом больших чисел).

Отсюда можно сделать вывод, что сущность закона состоит в том, что в числах, которые получаются при массовом наблюдении, имеются некоторые правильности, обнаружить которые в небольшом количестве фактов невозможно.

Сущность закона больших чисел и его примеры

Закон больших чисел выражает наиболее общие закономерности случайного и необходимого. Когда случайные отклонения «гасят» друг друга, средние показатели, определенные для одной и той же структуры, приобретают форму типичных. Они отражают действия существенных и постоянных фактов в конкретных условиях времени и места.

Определенные посредством закона больших чисел закономерности сильны только тогда, когда представляют массовые тенденции, и они не могут быть законами для отдельных случаев. Так, вступает в силу принцип математической статистики, говорящий, что комплексное действие ряда случайных факторов способно стать причиной неслучайного результата. И наиболее яркий пример действия данного принципа – это сближение частоты наступления случайного события и его вероятности, когда возрастает количество испытаний.

Давайте вспомним обычное бросание монетки. Теоретически орел и решка могут выпасть с одной и той же вероятностью. Это означает, что если, к примеру, бросить монетку 10 раз, 5 из них должна выпасть решка и 5 – орел. Но каждый знает, что так не происходит практически никогда, ведь соотношение частоты выпадения орла и решки может быть и 4 к 6, и 9 к 1, и 2 к 8 и т.д. Однако с увеличением количества подбрасываний монетки, например, до 100, вероятность того, что выпадет орел или решка, достигает 50%. Если же теоретически проводить бесконечное количество подобных опытов, вероятность выпадения монетки обеими сторонами всегда будет стремиться к 50%.

На то, как именно упадет монетка, влияет огромное число случайных факторов. Это и положение монетки на ладони, и сила, с которой совершается бросок, и высота падения, и его скорость и т.д. Но если опытов много, вне зависимости от того, как воздействуют факторы, всегда можно утверждать, что практическая вероятность близка к вероятности теоретической.

А вот еще один пример, который поможет понять сущность закона больших чисел: предположим, что нам нужно оценить уровень заработка людей в каком-то регионе. Если мы будем рассматривать 10 наблюдений, где 9 человек получают 20 тыс. рублей, а 1 человек – 500 тыс. рублей, среднее арифметическое составит 68 тыс. рублей, что, естественно, маловероятно. Но если мы возьмем в расчет 100 наблюдений, где 99 человек получают 20 тыс. рублей, а 1 человек – 500 тыс. рублей, то при расчете среднего арифметического получим 24,8 тыс. рублей, что уже ближе к реальному положению дел. Увеличивая число наблюдений, мы будем заставлять среднее значение стремиться к истинному показателю.

Именно по этой причине для применения закона больших чисел в первую очередь необходимо набрать статистический материал, чтобы получать правдивые результаты, изучая большое число наблюдений. Потому-то и удобно использовать этот закон, опять же, в статистике или социальной экономике.

Подведем итоги

Значение того, что закон больших чисел работает, сложно переоценить для любой области научного знания, и особенно для научных разработок в области теории статистики и методов статистического познания. Действие закона также обладает большим значением и для самих изучаемых объектов с их массовыми закономерностями. На законе больших чисел и принципе математической статистике основываются практически все методы статистического наблюдения.

Но, даже не беря во внимание науку и статистику как таковые, можно смело сделать вывод, что закон больших чисел – это не просто явление из области теории вероятностей, но феномен, с которым мы сталкиваемся практически каждый день в своей жизни.

Надеемся, теперь сущность закона больших чисел стала вам более понятна, и вы сможете легко и просто объяснить его кому-то другому. А если тема математики и теории вероятностей вам интересна в принципе, то рекомендуем почитать о числах Фибоначчи и парадоксе Монти Холла. Также познакомьтесь с приближенными вычислениями в жизненных ситуациях и самыми популярными числами. И, конечно же, обратите внимание на наш курс по когнитивистике, ведь, пройдя его, вы не только овладеете новыми техниками мышления, но и улучшите свои когнитивные способности в целом, в том числе и математические.

Часть 1. Фундамент прикладной статистики

1.4.1. Законы больших чисел

Законы больших чисел позволяют описать поведение сумм случайных величин. Примером является следующий результат, обобщающий полученный ранее в подразделе 1.2.2. Там было доказано следующее утверждение.

Теорема Чебышёва. Пусть случайные величины Х1, Х2,…, Хk попарно независимы и существует число С такое, что D(Xi) 0,

(3)

С точки зрения прикладной статистики ограниченность дисперсий вполне естественна. Она вытекает, например, из ограниченности диапазона изменения практически всех величин, используемых при реальных расчетах.

В 1923 г. А.Я. Хинчин показал, что если случайные величины не только независимы, но и одинаково распределены, то существование у них математического ожидания является необходимым и достаточным условием для применимости закона больших чисел [2, с.150].

Теорема [2, с.150-151]. Для того чтобы для последовательности Х1, Х2,…, Хk ,…(как угодно зависимых) случайных величин при любом положительном ε выполнялось соотношение (3), необходимо и достаточно, чтобы при n → ∞

Законы больших чисел для случайных величин служат основой для аналогичных утверждений для случайных элементов в пространствах более сложной природы. В частности, в пространствах произвольной природы (см. подраздел 2.1.5 далее). Однако здесь мы ограничимся классическими формулировками, служащими основой для современной прикладной статистики.

Смысл классических законов больших чисел состоит в том, что выборочное среднее арифметическое независимых одинаково распределенных случайных величин приближается (сходится ) к математическому ожиданию этих величин. Другими словами, выборочные средние сходятся к теоретическому среднему.

Это утверждение справедливо и для других видов средних. Например, выборочная медиана сходится к теоретической медиане. Это утверждение – тоже закон больших чисел, но не классический.

Существенным продвижением в теории вероятностей во второй половине ХХ в. явилось введение средних величин в пространствах произвольной природы и получение для них законов больших чисел, т.е. утверждений, состоящих в том, что эмпирические (т.е. выборочные )средние сходятся к теоретическим средним. Эти результаты будут рассмотрены в подразделе 2.1.5 ниже.

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Пусть производится большая серия однотипных опытов. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел — это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим.

В основе доказательства теорем, объединенных термином «закон больших чисел», лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания:

Пример 81. Устройство состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время равна 0,03. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом (математическом ожиданием) отказов за время окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение. а). Обозначим через число отказавших элементов за время . Тогда [] = np = 100 ? 0,03 = 3 и [] = npq = 100 ? 0,03 ? 0,97 = 2,91 (см. пример ). Воспользуемся неравенством Чебышева:

подставив в него [] = 3, [] = 2,91, = 2, получим

б). События и противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

Пример 82. Оценить вероятность события [] 0?

168. Каждая из 1000 независимых случайных величин имеет дисперсию, равную 4, а математические ожидания их одинаковы. Оцените вероятность того, что среднее арифметическое случайных величин отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 0,1.

III 169. Применима ли к последовательности случайных величин , , . , . имеющих равномерное распределение в промежутке ][, теорема Чебышева?

170. Пусть > 0 — неубывающая функция. Доказать, что если существует [ ([]], то

Еще по теме:

  • Сколько получают помощник прокурора Помощник прокурора: зарплата в России в 2017-2018 году Прокуратура – это целая система органов, осуществляющих надзор за исполнением законов в РФ. Сама организация военизирована, то есть имеет в составе военные правоохранительные службы и гражданские. […]
  • Правило эпитета и примеры Что такое эпитет? Что такое эпитет в литературе? Эпитеты: примеры из литературы Наряду с разговорной речью эпитеты используются в литературе, скорее всего чаще, чем при межличностном общении. Вот пример эпитета в литературе: «В вечер такой золотистый и […]
  • Как вернуть возврат в эйвоне ОБУЧАЮЩАЯ СИСТЕМА ДЛЯ ПРЕДСТАВИТЕЛЯ AVON Если вам пришла посылка с поврежденным, неисправным или бракованным продуктом AVON или просто Клиент отказался от продукта, у вас есть право вернуть этот продукт в компанию обратно. То есть, вы можете сделать […]
  • Повышение тарифа осаго 2014 Тарифы ОСАГО в 2018 году: последние изменения Лоббирование интересов страховщиков стало предметом массового обсуждения, так как заявлявшая ранее Государственная дума о том, что повышения расценок не предвидится, пошла на попятную. С 1 октября 2014 года новые […]
  • Срок возврат налога за лечение Налоговый вычет на лечение: срок давности и особенности расчета В России некоторые граждане могут вернуть себе часть потраченных средств за те или иные операции. Данная операция называется вычетом. Например, можно оформить возврат денег за обучение, покупку […]
  • Дело адвоката апреля Уточнен порядок участия адвокатов в уголовном судопроизводстве Президент РФ Владимир Путин подписал соответствующий закон о внесении изменений в Уголовно-процессуальный кодекс, которые вступят в силу 28 апреля текущего года (Федеральный закон от 17 апреля […]
  • Справка о причине увольнения По собственному желанию: 10 шагов при оформлении увольнения работника по его инициативе Самый распространенный способ увольнения – расторжение трудового договора по инициативе работника. Он же наряду с увольнением по соглашению сторон является и одним из […]
  • Раздел дохода при разводе Выплаты супругов при разводе облагаются НДФЛ, только если они производятся на основании соглашения, и в ЗАГСе есть запись о расторжении брака Минфин России разъяснил, что если в процессе развода суд принял решение о выплате супруга, получившего большую долю […]